问道数论小题
n^k-1=(n^(k-1)+n^(k-2)……+1)(n-1) (a);
(n-1)^2|n^k-1等价于n-1|n^(k-1)+n^(k-2)……+1;
若k被（n－1）整除，则n^(k-1)+n^(k-2)……+1-k=[n^(k-1)-1]+[n^(k-2)-1]……+[1-1];仿造(a),可知每一[]中项均可被n-1整除，从而n^(k-1)+n^(k-2)……+1-k可被n-1整除，进而n-1|n^(k-1)+n^(k-2)……+1；
若n-1|n^(k-1)+n^(k-2)……+1，同样有n^(k-1)+n^(k-2)……+1-k=[n^(k-1)-1]+[n^(k-2)-1]……+[1-1];仿造(a),可知每一[]中项均可被n-1整除，从而n^(k-1)+n^(k-2)……+1-k可被n-1整除，由n-1|n^(k-1)+n^(k-2)……+1有n-1|k；证毕
设n=100a+b, 10<=a,b<=99
先看ab|n的两个必要条件
1. a|n => a|b，可以设b=ka, 1<=k<=9
2. b|n => b|100a => ka|100a => k|100, 所以k只能取1,2,4,5
最后再看ab|n => ka^2|n => ka|(100+k)
k=1时101是质数，显然不行
k=2时102=2*3*17，所以b只可能取34，直接验证1734满足条件
k=4时104=2*2*2*13，b只可能取52，可以验证1352满足条件
k=5时105=3*5*7，a只可能取15，但1575不满足条件
1) y² = x³-3.
若x为偶数, 则x³-3 ≡ 5 (mod 8), 不可能为完全平方数.
因此x为奇数, 相应y为偶数.
若x ≡ 1 (mod 4), 则x³ ≡ 1 (mod 4).
此时x³-3 ≡ 2 (mod 4), 不可能为完全平方数.
因此x ≡ 3 (mod 4).
设x = 4u-1, y = 2v, 得:
4v²+4 = y²+4 = x³+1 = (x+1)(x²-x+1) = 4u(16u²-12u+3),
即v²+1 = u(16u²-12u+3).
根据二次剩余理论, 左端v²+1没有4k+3型的素因子.
(若素数p ≡ 3 (mod 4), 则-1不是mod p的二次剩余)
然而右端16u²-12u+3 ≡ 3 (mod 4), 必然有4k+3型的素因子, 矛盾.
因此方程无整数解.
2) y² = x³-5.
若x为偶数, 则x³-5 ≡ 3 (mod 8), 不可能为完全平方数.
因此x为奇数, 相应y为偶数.
若x ≡ 3 (mod 4), 则x³ ≡ 3 (mod 4).
(顺便指出某位网友的错误: 立方数未必mod 8余0或1),
此时x³-5 ≡ 2 (mod 4), 不可能为完全平方数.
因此x ≡ 1 (mod 4).
设x = 4u+1, y = 2v, 得:
4v²+4 = y²+4 = x³-1 = (x-1)(x²+x+1) = 4u(16u²+12u+3),
即v²+1 = u(16u²+12u+3).
根据二次剩余理论, 左端v²+1没有4k+3型的素因子.
然而右端16u²+12u+3 ≡ 3 (mod 4), 必然有4k+3型的素因子, 矛盾.
因此方程无整数解.
3) y² = x³-1.
若x为偶数, 则x³-1 ≡ 7 (mod 8), 不可能为完全平方数.
因此x为奇数, 相应y为偶数.
以下在Gauss整数环Z[i]上讨论.
(Z[i]是主理想整环, 有唯一分解性质, 可完全类比通常的整数).
移项得x³ = y²+1 = (y+i)(y-i).
由y是偶数, 有2i | y,
于是(y+i,y-i) = (y+i,-2i) = (i,-2i) = (i,0) = 1, 即y+i与y-i互素.
而二者的乘积x³是Z[i]上的立方数, 可知二者分别都是Z[i]上的立方数,
故存在整数u, v使y+i = (u+vi)³ = (u³-3uv²)+(3u²v-v³)i ①.
比较①式两端虚部知1 = 3u²v-v³ = (3u²-v²)v ②, 于是v = 1或-1.
分别代回②得3u² = 2(无整数解)或3u² = 0, 因此只有u = 0, v = -1.
代回比较①式两端实部得y = 0, 不为正整数.
因此方程没有正整数解(整数解只有x = 1, y = 0).
郭敦顒回答：
∵m^3-n^2=k(m,n∈N+且k为奇数），
∴k∈{1，3，5，7，9，…}
m≥2，当m=2时，n＜3，n≠2，∴n=1，
k=m^3-n^2=23－22=7，
k的值是否有比7更小的，尚不清楚。
32^3－181^2=7，
k为奇数，那么m,n需要是一偶一奇。在所有自然数中，最小的奇数是1，最小的偶数是2,那么k=-3(不符合你的要求)。取m=2,n=1，k=7.
不是显然的吗？ k 最小值不存在。
如取 m=1 ，n 取遍全体正偶数，显然 k 为奇数且趋于负无穷 。
当 k 为非负偶数时，k 最小值为 0 ，如 m = 4，n = 8 。
当 k 为正偶数时，k 最小值为 2 ，如 m = 3 ，n = 5 。
当 k 为正奇数时，k 最小值为 。。。。。。。。。。。
请问楼主：k是否为正整数？如果不是，那么这个问题就没有答案，因为我令m=1.n为偶数，则无论n取什么偶数，都有一个偶数大于n，k就没有最小值。
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